Στοχαστικές Μέθοδοι

Περιγραφή Μαθήματος:

Προσομοίωση και σημασία της. Ανασκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων και στατιστικής. Στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές. Φασματική ανάλυση. Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις. Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής. Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας. Κυκλοστάσιμα μοντέλα. Πολυμεταβλητά μοντέλα. Μέθοδοι διακριτοποίησης. Μέθοδοι αναπτύγματος σε σειρά τυχαίων μεταβλητών. Στοχαστική προσέγγιση απλών στατικών συστημάτων.

Απαιτούμενες Γνώσεις

Πιθανότητες - Στατιστική

Κεφάλαια Μαθήματος

# Τίτλος Διδακτέα Ύλη Ώρες
1 Εισαγωγή Γενικές έννοιες, αβεβαιότητα και ποσοτικοποίησή της, χρησιμότητα, τύποι προβλημάτων. 3
2 Προσομοίωση Η έννοια της προσομοίωσης, κατηγορίες προσομοίωσης, χρήσεις της στοχαστικής προσομοίωσης, μοντέλα προσομοίωσης, τυχαίοι αριθμοί. Απλές εφαρμογές προσομοίωσης στην επίλυση προβλημάτων στατιστικής επαγωγής, ολοκλήρωσης Monte Carlo και στοχαστικής βελτιστοποίησης. 3
3 Ανασκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων και στατιστικής Τυχαίες μεταβλητές, Γενικές έννοιες, τυχαίες μεταβλητές, στατιστικές παράμετροι, στατιστική εκτίμηση, πιθανοτικές κατανομές και προσαρμογή τους. Η έννοια της εντροπίας και μεγιστοποίησή της. Εφαρμογή στη στατιστική ανάλυση γεωφυσικών χρονοσειρών. 3
4 Στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές ανελίξεις, στασιμότητα, εργοδικότητα. Αυτοσυσχέτιση, ετεροσυσχέτιση, κλιμακόγραμμα. Ανελίξεις συνεχούς και διακριτού χρόνου. Δειγματοληψία και χρονοσειρές. Λευκός θόρυβος. 3
5 Φασματική ανάλυση Ο μετασχηματισμός Fourier και η χρησιμότητά του στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων. Συνέλιξη. Ο μετασχηματισμός Fourier της αυτοσυνδιασποράς και το φάσμα ισχύος. Εκτίμηση του φάσματος ισχύος από χρονοσειρές. Υπολογιστικά θέματα του φάσματος ισχύος. Παράδειγμα στον εντοπισμό περιοδικότητας. Σύνθετο παράδειγμα στην ανάλυση γεωφυσικών φαινομένων μεγάλης κλίμακας. 3
6 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις Γενικές έννοιες, η εξίσωση Langevin και η εφαρμογή της στην εκροή από γραμμικό ταμιευτήρα με εισροή λευκό θόρυβο. Η εξίσωση Fokker–Planck. Ανελίξεις Μαρκόφ – η ανέλιξη Ornstein–Uhlenbeck. 3
7 Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής Μοντέλα διακριτού χρόνου. Τα μοντέλα AR(1), AR(2), ARMA(1,1), και γενικεύσεις τους. Η γενική μέθοδος προσομοίωσης οποιασδήποτε ανέλιξης με τη μέθοδο SΜΑ. Προσαρμογή στοχαστικών μοντέλων σε ιστορικές χρονοσειρές και παραγωγή συνθετικών χρονοσειρών. 3
8 Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας Εμπειρική τεκμηρίωση της ύπαρξης μακροπρόθεσμης εμμονής. Θεωρητική τεκμηρίωση με βάση την μεγιστοποίηση παραγωγής εντροπίας. Η ανέλιξη Hurst-Kolmogorov και απλοί τρόποι προσομοίωσής της. Ανάλυση της επίδρασης της μακροπρόθεσμης εμμονής στην διαθεσιμότητα των υδατικών πόρων και στον σχεδιασμό έργων αξιοποίησής τους. 3
9 Κυκλοστάσιμα μοντέλα Εισαγωγή στα κυκλοστάσιμα μοντέλα. Τα μοντέλα PAR και PARSMA. Εφαρμογή στον σχεδιασμό ταμιευτήρα και τη στοχαστική ανάλυση αξιοπιστίας. 3
10 Πολυμεταβλητά μοντέλα Υπενθύμιση εννοιών γραμμικής άλγεβρας. Διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές και χειρισμός τους. Μητρώα συνδιασποράς. Το πολυμεταβλητό κυκλοστάσιμο μοντέλο PAR. Εισαγωγή στα μοντέλα επιμερισμού. Εφαρμογή στη διαχείριση συστήματος ταμιευτήρων. 3
11 Μέθοδοι απεικόνισης στοχαστικών ανελίξεων σε σειρά Προσομοίωση στοχαστικών ανελίξεων με μεθόδους σημειακής διακριτοποίησης και τοπικού μέσου όρου. Μέθοδος φασματικής απεικόνισης, αναπτύγματα Karhunen–Loève. Προσομοίωση ομογενών στοχαστικών ανελίξεων. 3
12 Προσομοίωση μη ομογενών στοχαστικών ανελίξεων Προσομοίωση μη ομογενών στοχαστικών πεδίων και εκτίμηση εξελικτικών φασμάτων ισχύος από δεδομένα. Παραγωγή συνθετικών σεισμικών εδαφικών κινήσεων - επιταχύνσεων. 3
13 Στοχαστική προσέγγιση απλών στατικών συστημάτων Εισαγωγή στη στοχαστική αρχή δυνατών έργων. Επίλυση του στοχαστικού στατικού προβλήματος με αναλυτικές λύσεις και προσεγγιστικές μεθόδους προσομοίωσης Monte Carlo. Εκτίμηση πιθανοτικών χαρακτηριστικών της απόκρισης. 3

Μαθησιακοί Στόχοι

• Εξοικείωση με την αβεβαιότητα που ενυπάρχει σε πολύπλοκα αλλά και σε απλά ντετερμινιστικά συστήματα. • Αναγνώριση των δυνατοτήτων της προσομοίωσης Monte Carlo για στοχαστικά αλλά και ντετερμινιστικά αριθμητικά προβλήματα. • Εξοικείωση με το λογισμό των στοχαστικών ανελίξεων. • Εκμάθηση απλών στάσιμων και κυκλοστάσιμων στοχαστικών μοντέλων και της χρήσης τους στην προσομοίωση. • Κατανόηση της έννοιας της εμμονής και της σημαντικής επίδρασής τους στην αύξηση της αβεβαιότητας και στο σχεδιασμό έργων. • Εξοικείωση με μεθόδους προσομοίωσης στοχαστικών ανελίξεων και περιγραφή σχετικών φυσικών φαινομένων. • Κατανόηση της διατύπωσης και επίλυση προβλημάτων μηχανικής υπό την παρουσία αβέβαιων παραμέτρων. • Εμβάθυνση στην επιρροή αβεβαιοτήτων στη διαδικασία ανάλυσης και σχεδιασμού κατασκευών.

Μέθοδοι και Μέσα Διδασκαλίας και Μάθησης

Μέθοδοι Διδασκαλίας Διδασκαλία θεωρίας και εφαρμογή της με ασκήσεις στο PC Lab (χρήση κυρίως Excel και Visual Basic)
Μέσα Διδασκαλίας Χρήση διαφανειών και άλλων εποπτικών μέσων
Εργαστήρια Χρήση PC Lab
Χρήση ΗΥ και προγραμμάτων Κατάστρωση σύνθετων προβλημάτων προσομοίωσης και βελτιστοποίησης σε λογιστικά φύλλα
Ασκήσεις Ασκήσεις απλής εφαρμογής που εκπονούνται στην τάξη
Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις Εκπόνηση επτά υπολογιστικών ασκήσεων που καλύπτουν τα αντίστοιχα γνωστικά αντικείμενα του μαθήματος: 1. Η ανάδυση της αβεβαιότητας σε απλά ντετερμινιστικά προβλήματα. 2. Προσαρμογή πιθανοτικών κατανομών σε χρονοσειρές. 3. Προσαρμογή στοχαστικών μοντέλων
Άλλο Οι φοιτητές ενθαρρύνονται να συντάξουν και να παρουσιάσουν ερευνητικές εργασίες στο διεθνές συνέδριο της European Geosciences Union στη Βιέννη, για τις οποίες καθοδηγούνται από το διδακτικό προσωπικό του μαθήματος. Παρόλο ότι η συμμετοχή σε αυτή τη δραστηρ

Αξιολόγηση Επίδοσης

  • 50% Τελική γραπτή εξέταση
  • 50% Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις

Διδασκαλία:

  • Τετάρτη, 12:45 – 16:30,
    Αίθουσες:
    • Κτ. Διοίκησης, PC Lab Σχολής