Διαφορικές Εξισώσεις

Περιγραφή Μαθήματος:

Η μελέτη των Διαφορικών Εξισώσεων. Ποιοτική θεωρία και βασικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων. Εφαρμογές με μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων

Απαιτούμενες Γνώσεις

Ανάλυση Ι, Ανάλυση ΙI (Βασικές έννοιες για την τελευταία ενότητα), Γραμμική Άλγεβρα

Κεφάλαια Μαθήματος

# Τίτλος Διδακτέα Ύλη Ώρες
1 Εισαγωγή Προέλευση χρησιμότητα, Μαθηματικά μοντέλα, έννοια και ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων, η έννοια της λύσης, προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών, καλά τοποθετημένα προβλήματα. 2
2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Γραμμικές, Xωριζομένων μεταβλητών, Ακριβείς και με ολοκληρώνοντες παράγοντες, Ομογενείς, Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας, Μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων 8
3 Γραμμικές διαφορικές Γενική θεωρία ομογενών, Γραμμική ανεξαρτησία συναρτήσεων ή λύσεων και ορίζουσα Wronski, Το θεώρημα του Abel, Υποβιβασμός τάξης-μέθοδος d΄Alembert, Μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις, μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων-μέθοδος Lagrange, Εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, Χαρακτηριστικό πολυώνυμο-απλές, πολλαπλές, μιγαδικές ρίζες, Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών. 8
4 Μετασχηματισμός Laplace Ορισμός. Επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών. Οι συναρτήσεις Heaviside και Dirac, Εξισώσεις με ασυνεχή μη ομογενή όρο. Θεώρημα της συνέλιξης. Εξισώσεις τύπου Volterra. 6
5 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης Ομογενή γραμμικά με σταθερούς συντελεστές, Μιγαδικές, Πολλαπλές ιδιοτιμές, το επίπεδο φάσεων, Αυτόνομα συστήματα και ευστάθεια, Μη ομογενή γραμμικά συστήματα. 6
6 Επίλυση Γραμμικών Δεύτερης Τάξης με τη Μέθοδο των Δυναμοσειρών Λύσεις σε περιοχή ομαλού σημείου, Εξίσωση Legendre, Πολυώνυμα Legendre, Η εξίσωση Euler, Λύσεις σε περιοχή κανονικού ιδιάζοντος σημείου, Η εξίσωση Bessel. 6
7 Τριγωνομετρικές Σειρές Fourier Συντελεστές Fourier-Euler, Θεώρημα σύγκλισης, Άρτιες, περιττές συναρτήσεις- συνημιτονικά, ημιτονικά αναπτύγματα, Μιγαδική μορφή σειρών Fourier. 4
8 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Ομογενή προβλήματα Sturm-Liouville, ιδιοτιμές και ιδιολύσεις 4
9 Χωρισμός μεταβλητών Η κυματική εξίσωση – ταλαντώσεις ελαστικής χορδής. Η λύση D’Alebert. Η μέθοδος χωρισμού μεταβλητών σε δύο και τρεις διαστάσεις Προτυποποίηση φυσικών προβλημάτων. 8

Μαθησιακοί Στόχοι

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση να: 1. Γνωρίζουν τον σημαντικό ρόλο των διαφορικών εξισώσεων. 2. Τη δυνατότητα προτυποποίησης μέσω διαφορικών εξισώσεων συνήθων και μερικών. 3. Να αντιληφθούν τη σημασία των αναλυτικών και θεωρητικών μεθόδων στην επίλυση προβλημάτων και τη δυνατότητα αξιοποίησης του σχετικού λογισμικού.

Μέθοδοι και Μέσα Διδασκαλίας και Μάθησης

Μέθοδοι Διδασκαλίας Διαλέξεις στην τάξη. Επίλυση απλών παραδειγμάτων και προβλημάτων στην τάξη.
Μέσα Διδασκαλίας Πίνακας. Προγραμματισμός ΗΥ με Matlab.
Εργαστήρια Ναι
Χρήση ΗΥ και προγραμμάτων Οι φοιτητές επιλύουν στην τάξη με τη βοήθεια των διδασκόντων απλές ασκήσεις χρησιμοποιώντας κυρίως Matlab σε ΗΥ.
Ασκήσεις Ασκήσεις
Παρουσιάσεις φοιτητών Όχι

Αξιολόγηση Επίδοσης

  • 70% Τελική γραπτή εξέταση
  • 30% Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις

Διδασκαλία:

  • Τετάρτη, 08:45 – 10:30,
    Αίθουσες:
    • Αμφ. 1/2
  • Πέμπτη, 08:45 – 10:30,
    Αίθουσες:
    • Αμφ. 1/2