Λογισμός Πολλών Μεταβλητών

Περιγραφή Μαθήματος:

Ο Ευκλείδειος χώρος Rn. Απεικονίσεις μεταξύ Ευκλείδειων χώρων, όριο και συνέχεια συναρτήσεων. Παράγωγοι διανυσματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, εφαρμογές στη Μηχανική και στη Διαφορική Γεωμετρία, πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Διαφορίσιμες συναρτήσεις, μερική και κατευθυνόμενη παράγωγος. Διανυσματικά πεδία, κλίση-απόκλιση-στροβιλισμός. Βασικά θεωρήματα διαφορίσιμων συναρτήσεων (παραγωγισιμότητα συνθέτου απεικόνισης, θεωρήματα μέσης τιμής, Taylor). Το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης, θεωρήματα πεπλεγμένων συναρτήσεων, συναρτησιακή εξάρτηση. Τοπικά ακρότατα, ακρότατα υπό συνθήκες. Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα: ορισμοί, κριτήρια ολοκληρωσιμότητας, ιδιότητες του διπλού-τριπλού ολοκληρώματος, αλλαγή μεταβλητών, εφαρμογές. Επικαμπύλια ολοκληρώματα α' και β' είδους, το θεώρημα Green, επικαμπύλια ολοκληρώματα ανεξάρτητα του δρόμου, συνάρτηση δυναμικού. Επιφανειακά ολοκληρώματα α' και β' είδους. Βασικά θεωρήματα Διανυσματικής Ανάλυσης (Stokes και Gauss), εφαρμογές

  • Εξάμηνο 2
  • Ώρες διδασκαλίας 3
  • Διδάσκοντες Ι. Τσινιάς

Απαιτούμενες Γνώσεις

Συνιστάται στους φοιτητές να έχουν τις βασικές γνώσεις Μαθηματικής Ανάλυσης Ι και Γραμμικής Άλγεβρας.

Κεφάλαια Μαθήματος

# Τίτλος Διδακτέα Ύλη Ώρες
1 Εισαγωγή Ευκλείδειος χώρος Rn. Συναρτήσεις μεταξύ Ευκλείδειων χώρων, όριο και συνέχεια συναρτήσεων. 3
2 Διανυσματικές συναρτήσεων μιας μεταβλητής Παράγωγοι διανυσματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, εφαρμογές στη Μηχανική και στη Διαφορική Γεωμετρία, πολικές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. 6
3 Παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Διαφορίσιμες συναρτήσεις, μερική παράγωγος και παράγωγος ως προς κατεύθυνση, διαφορικά . Βασικά θεωρήματα διαφορίσιμων συναρτήσεων (παραγωγισιμότητα συνθέτου απεικόνισης, θεωρήματα μέσης τιμής, Taylor). Θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης, θεωρήματα πεπλεγμένων συναρτήσεων, συναρτησιακή εξάρτηση. Διανυσματικά πεδία, κλίση-απόκλιση-στροβιλισμός. 6
4 Ακρότατα Τοπικά ακρότατα, ακρότατα υπό συνθήκες, ικανές και αναγκαίες συνθήκες, πολλαπλασιαστές Lagrange. 3
5 Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα: ορισμοί, κριτήρια ολοκληρωσιμότητας, ιδιότητες του διπλού-τριπλού ολοκληρώματος. Αλλαγή μεταβλητών, εφαρμογές. 6
6 Επικαμπύλια ολοκληρώματα Επικαμπύλια ολοκληρώματα : επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α' και β' είδους, θεώρημα Green, επικαμπύλια ολοκληρώματα ανεξάρτητα του δρόμου, συνάρτηση δυναμικού. 6
7 Επιφανειακά ολοκληρώματα Επιφανειακά ολοκληρώματα α' και β' είδους. Βασικά θεωρήματα Διανυσματικής Ανάλυσης (Stokes και Gauss), εφαρμογές. 9

Μαθησιακοί Στόχοι

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα έχουν αποκτήσει επαρκείς γνώσεις σε βασικά θέματα του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων 2 και 3 μεταβλητών.

Μέθοδοι και Μέσα Διδασκαλίας και Μάθησης

Μέθοδοι Διδασκαλίας Διαλέξεις στην τάξη. Επίλυση απλών παραδειγμάτων και προβλημάτων στην τάξη.
Μέσα Διδασκαλίας Παρουσιάσεις στον Πίνακα.
Εργαστήρια Όχι
Χρήση ΗΥ και προγραμμάτων Όχι
Ασκήσεις Ναι
Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις Ναι
Παρουσιάσεις φοιτητών Όχι

Αξιολόγηση Επίδοσης

  • 70% Τελική γραπτή εξέταση
  • 20% Ενδιάμεση πρόοδος
  • 10% Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις