Μαθηματική Ανάλυση & Γραμμική Άλγεβρα

Περιγραφή Μαθήματος:

Ανάλυση: Πραγματικοί αριθμοί (τοπολογία του R, ανώτερο και κατώτερο πέρας, θεώρημα Bolzano-Weierstrass). Ακολουθίες πραγματικών αριθμών, κριτήρια σύγκλισης. Σειρές, κριτήρια σύγκλισης. Διαφορικός λογισμός μιας μεταβλητής, θεμελιώδη θεωρήματα, τύπος Taylor - Maclaurin, ακρότατα. Δυναμοσειρές (Taylor- Maclaurin). Παράγουσα, μέθοδοι υπολογισμού αορίστου ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα Riemann (ορισμός, κριτήρια ολοκληρωσιμότητας και εφαρμογές). Γενικευμένα ολοκηρώματα Α και Β είδους, υπολογισμοί και κριτήρια σύγκλισης. Το ολοκληρωτικό κριτήριο για την σύγκλιση σειρών.
Γραμμική Άλγεβρα: Εισαγωγή στα διανύσματα, Διανυσματικά γινόμενα. Η ευθεία στο χώρο και εφαρμογές. Το επίπεδο και εφαρμογές. Σφαίρα, κυλινδρικές και κωνικές επιφάνειες. Επιφάνειες δεύτερου βαθμού, προβολή καμπύλης του χώρου στα επίπεδα συντεταγμένων. Εισαγωγή στους πίνακες. Ορίζουσες, βαθμός πίνακα. Γραμμικά συστήματα, μέθοδος απαλοιφής του Gauss, μέθοδος Cramer, αντιστροφή πίνακα. Γραμμικές απεικονίσεις (ορισμός, πυρήνας, εικόνα, πίνακας). Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, παραδείγματα. Χαρακτηριστικά ποσά. Διαγωνοποίηση πίνακα, θεώρημα των Cayley – Hamilton. Τετραγωνικές μορφές και εφαρμογές.

Απαιτούμενες Γνώσεις

Μαθηματικά Λυκείου

Κεφάλαια Μαθήματος

# Τίτλος Διδακτέα Ύλη Ώρες
1 Πραγματικοί αριθμοί, Ακολουθίες, σύγκλιση Πραγματικοί αριθμοί (τοπολογία του R, ανώτερο και κατώτερο πέρας, το θεώρημα Bolzano-Weierstrass). Ακολουθίες πραγματικών αριθμών, κριτήρια σύγκλισης. 2Χ3=6
2 Σειρές, κριτήρια σύγκλισης Σειρές, σύγκλιση, απόλυτη σύγκλιση, σειρές με θετικούς όρους, εναλλάσουσες σειρές, κριτήρια σύγκλισης. 3Χ3=9
3 Διαφορικός λογισμός. Διαφορικός λογισμός μιας μεταβλητής, θεμελιώδη θεωρήματα, τύπος Taylor - Maclaurin, ακρότατα, Δυναμοσειρές (Taylor - Maclaurin). 2Χ3=6
4 Ολοκληρωτικός λογισμός Παράγουσα, μέθοδοι υπολογισμού αορίστου ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα Riemann (ορισμός, κριτήρια ολοκληρωσιμότητας). Θεμελιώδη Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού. Εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος σε υπολογισμό εμβαδού, μήκους τόξου και όγκου στερεού εκ περιστροφής. 4Χ3=12
5 Γενικευμένα ολοκληρώματα Γενικευμένα ολοκηρώματα Α και Β είδους, υπολογισμοί και κριτήρια σύγκλισης. Το ολοκληρωτικό κριτήριο για την σύγκλιση σειρών. 2Χ3=6
6 Διανυσματικός Λογισμός Εισαγωγή στα διανύσματα, Διανυσματικά γινόμενα. 1Χ3=3
7 Ευθεία στο χώρο, Επίπεδο, Επιφάνειες Η ευθεία στο χώρο και εφαρμογές. Το επίπεδο και εφαρμογές. Σφαίρα, κυλινδρικές και κωνικές επιφάνειες. Επιφάνειες 2ου βαθμού, προβολή καμπύλης του χώρου στα επίπεδα συντεταγμένων. 3Χ3=9
8 Πίνακες, ορίζουσες, γραμμικά συστήματα Εισαγωγή στους πίνακες. Ορίζουσες, βαθμός πίνακα. Γραμμικά συστήματα, μέθοδος απαλοιφής του Gauss, μέθοδος Cramer, αντιστροφή πίνακα. 3Χ3=9
9 Γραμμικές απεικονίσεις Γραμμικές απεικονίσεις (ορισμός, πυρήνας, εικόνα, πίνακας). Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, παραδείγματα. 2Χ3=6
10 Χαρακτηριστικά ποσά, Τετραγωνικές μορφές Χαρακτηριστικά ποσά. Διαγωνοποίηση πίνακα, θεώρημα των Cayley – Hamilton. Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα, εσωτερικά γινόμενα, Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt, τετραγωνικές μορφές και εφαρμογές 3Χ4=12

Μαθησιακοί Στόχοι

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές θα είναι σε θέση να γνωρίζουν

  1. βασικές έννοιες και αποτελέσματα του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μιάς μεταβλητής,

  2. βασικές έννοιες και αποτελέσματα της Γραμμικής Αλγεβρας και Διανυσματικής Ανάλυσης .

Μέθοδοι και Μέσα Διδασκαλίας και Μάθησης

Μέθοδοι Διδασκαλίας Διαλέξεις στην τάξη. Επίλυση απλών παραδειγμάτων και προβλημάτων στην τάξη.
Μέσα Διδασκαλίας Παρουσιάσεις στον Πίνακα.
Ασκήσεις Ναι
Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις Ναι

Αξιολόγηση Επίδοσης

  • 70% Τελική γραπτή εξέταση
  • 20% Ενδιάμεση πρόοδος
  • 10% Θέματα, εργασίες και τεχνικές εκθέσεις

Διδασκαλία:

  • Δευτέρα, 08:45 – 10:30,
    Αίθουσες:
    • Γενικές Έδρες ΑΜΦ 4
  • Παρασκευή, 12:45 – 13:30,
    Αίθουσες:
    • Γενικές Έδρες ΑΜΦ 4